Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса

Как указывалось ранее, при описании динамики вращательного движения момент импульса играет ту же роль, что и импульс при поступательном движении. Момент импульса твердого тела определяется моментом инерции тела относительно оси вращения и угловой скоростью вращения твердого тела: .

Продифференцируем уравнение это по времени:

Это уравнение называется уравнением моментов. Из уравнения следует, что причиной изменения момента импульса является момент силы, действующий на твердое тело. Динамика вращательного движения описывается именно этим уравнением. Обратите внимание на аналогичность динамического содержания и структуры уравнения моментов и второго закона Ньютона .

В уравнении моментов речь идет о приращении моментов импульса, во втором законе Ньютона – о приращении импульса. Причиной приращения момента импульса является момент силы, а причиной приращения импульса является сила.

Из уравнения моментов следует, что под действием момента силы твердое тело за элементарный промежуток времени dt получает элементарное приращение момента импульса: . За конечный промежуток времени момент импульса твердого тела получает конечное приращение, которое можно определить: . Уравнения и называются теоремами об изменении момента импульса в дифференциальной и интегральной форме соответственно.

Из теоремы об изменении момента импульса следует закон сохранения момента импульса твердого тела: если момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то относительно этой оси момент импульса со временем не изменяется (сохраняется).

Докажем это утверждение. Действительно, если момент внешних сил, действующих на твердое тело относительно некоторой оси равен нулю , то изменение момента импульса относительно этой же оси равно нулю , откуда

Выражение (6.33) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Пример 1. Рассмотрим случай вращательного движения человека, находящегося на скамье Жуковского. Скамья Жуковского представляет собой горизонтальную платформу (диск), которая может свободно вращаться без трения вокруг вертикальной оси ОО₁. Человек сидит на скамье и держит в вытянутых руках гимнастические гантели и вращается вместе со скамьей вокруг оси ОО₁ с угловой скоростью .

Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил (сил тяжести и реакции подшипников) относительно оси ОО₁ равен нулю, то момент импульса системы относительно оси ОО₁ сохраняется: , где – момент инерции человека и скамьи относительно оси ОО₁, и – моменты инерции гантелей в первом и втором положениях относительно оси ОО₁; m – масса одной гантели; r₁ и r₂ – расстояния от гантелей до оси вращения; и – угловые скорости вращения системы. Очевидно, что если r₂ < r₁, то возрастает.

Пример 2. Человек стоит на неподвижной скамье Жуковского и держит в руках ось массивного колеса так, что она является продолжением оси ОО₁ вращения скамьи.

Вначале колесо не вращается, а затем человек раскручивает его до угловой скорости . При этом он сам вместе со скамьей приходит во вращение в обратном направлении с угловой скоростью , которая, как показывает опыт, находится в полном согласии с законом сохранения момента импульса системы относительно неподвижной оси ОО₁: . Вначале скамья не вращается, поэтому суммарный момент импульса системы равен нулю , после того как колесо раскрутили суммарный момент импульса системы равен сумме моментов импульса колеса и скамьи: . Из этого уравнения следует, что . Скамья вращается в противоположном направлении вращению колеса.

Пример 3. Рассмотрите внимательно рисунок и объясните явление.

Тема 7
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

7.1. Кинематика специальной теории относительности.
Принцип относительности Галилея

Согласно принципу относительности, сформулированному Галилеем в 1636 г., все инерциальные системы отсчета по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу.Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы, а законы механики имеют одинаковую математическую форму выражения. В соответствии с этим принципом, никакими механическими опытами, проводимыми в какой-либо инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится данная система или движется равномерно и прямолинейно.

Классический принцип относительности справедлив для классической механики, при скоростях движения тел малых по сравнению со скоростью света, т.е. при << c.

Преобразования координат Галилея – это формулы преобразования координат материальной точки и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Пусть инерциальная система отсчета К΄ движется с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчета К. Преобразования Галилея – это формулы, связывающие между собой координаты x, y, z и x΄, y΄, z΄ материальной точки и время t и t΄ в двух системах отсчета имеют вид:

Система К’ начинает двигаться относительно К в направлении, совпадающем с вектором со скоростью :

Уравнение (7.3) запишем в проекциях на оси координат:

В частном случае, когда К’ движется с вдоль положительного направления оси х системы К:

Продифференцируем уравнение (7.3) по времени:

– теорема сложения скоростей Галилея.

– скорость движения тела относительно К (абсолютная),

– скорость движения тела относительно К’ (относительная),

– скорость движения системы К’ относительно К (переносная).

Если т.е., если в системе К на материальную точку силы не действуют, то и в системе К’ на материальную точку силы не действуют. Если система отсчета движется с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчёта, то она также является инерциальной.

Классический принцип относительности утверждает, что законы механики во всех инерциальных системах отсчета имеют одинаковую математическую форму выражения. Покажем, что второй закон Ньютона в системе К и в системе К΄ имеют одинаковую форму.

Продифференцируем уравнение (7.7) по времени:

Ускорение движения материальной точки является инвариантным (не меняется) относительно инерциальной системы отсчёта. Следовательно, второй закон Ньютона (основное уравнение динамики) не меняет своего вида при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Таким образом, находясь в инерциальной системе отсчёта никакими механическими опытами нельзя обнаружить, движется система равномерно и прямолинейно или покоится.

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2021 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с) .

Момент импульса человека и скамьи

«Физика — 10 класс»

Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?

Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.

Момент импульса.

Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).

Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, — момент импульса.

Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):

Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда

Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.

Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:

Момент импульса — векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.

Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения отсюда I(ω₂ — ω₁) = MΔt, или IΔω = MΔt.

Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.

Закон сохранения момента импульса:

Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.

ΔL = 0, L = const.

Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.

Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.

Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью следующего опыта, называемого «опыт со скамьёй Жуковского». На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, проходящую через её центр, встаёт человек. Человек держит в руках гантели. Если скамью заставить вращаться, то человек может изменять скорость вращения, прижимая гантели к груди или опуская руки, а затем разводя их. Разводя руки, он увеличивает момент инерции, и угловая скорость вращения уменьшается (рис. 6.11, а), опуская руки, он уменьшает момент инерции, и угловая скорость вращения скамьи увеличивается (рис. 6.11, б).

Человек может также заставить вращаться скамью, если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.

На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа — это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:

Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,

Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид

В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна

В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Законы сохранения в механике — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса (кинетический момент, момент количества движения) системы абсолютно твердых тел относительно некоторого неподвижного центра (точки) O – характеристика вращательного движения, равен векторной сумме моментов импульсов тел:

где – момент импульса i-го тела.

Если на систему абсолютно твердых тел не действуют моменты внешних сил или результирующий момент сил равен нулю, то момент импульса системы тел относительно точки O остается постоянным:

т. е. выполняется закон сохранения момента импульса.

Пусть абсолютно твердое тело вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси Oz, его момент инерции относительно этой оси – I_z . Тогда момент импульса тела относительно оси Oz (проекция вектора момента импульса на ось Oz) определяется по формуле:

где – проекция вектора угловой скорости тела на ось Oz.

Если результирующий момент внешних сил, действующих на систему тел, не равен нулю, но его проекция на некоторую ось (момент сил относительно оси) равна нулю, то остается постоянным момент импульса системы относи­тельно этой оси. Например, если система тел вращается вокруг неподвижной оси Oz и результирующий момент внешних сил относительно этой оси равен нулю, то момент импульса системы относительно оси вращения не меняется:

где L_zi и I_zi – моменты импульса и моменты инерции тел, входящих в систему, относительно оси Oz соответственно;

w_zi – проекции векторов угловой скорости тел на ось Oz.

71.(1) Скамья Жуковского представляет собой горизонтально расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр диска. Человек с вытянутыми в стороны руками стоит в центре скамьи Жуковского, которая вращается с частотой 0,80 об/с. С какой частотой станет вращаться скамья с человеком, если человек прижмет руки к груди, изменив тем самым суммарный момент инерции системы в 1,2 раза?

72.(2) Горизонтально расположенная карусель в виде диска массой 5,0 кг и радиусом 60 см вращается с частотой 5,0 об/мин. На карусели лежит черепаха массой 1,0 кг. Край черепахи совпадает с краем карусели. С какой частотой станет вращаться система, если черепаха переползет в центр карусели? При расчетах черепаху считать диском радиусом 10 см.

73.(2) Карусель в виде однородного диска массой 160 кг радиусом 1,5 м вращается с частотой 1,0 об/с. В центре карусели стоит мальчик массой 35 кг. С какой частотой станет вращаться карусель, если мальчик со скоростью, направленной горизонтально вдоль радиуса карусели перейдет на ее край? При расчете момента инерции мальчика считать материальной точкой.

74.(2) Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень массой 3,1 кг и длиной 2,8 м, на концах которого закреплены шары. Центры шаров совпадают с концами стержня. Масса каждого шара равна 0,73 кг, радиус равен 15 см. При горизонтальном расположении стержня (когда центр стержня лежит на оси вращения) скамья вращается с частотой 0,80 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья, если человек расположит стержень вертикально вдоль оси вращения? Момент инерции человека и платформы равен 22 кг∙м 2 .

75.(3) На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2,1 м, стоит человек. Масса платформы равна 200 кг, человека — 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 1,9 м/с относительно платформы. Рассмотреть случаи: 1) платформа первоначально покоилась; 2) платформа первоначально вращалась с угловой скоростью 1,7 рад/с, а человек пошел в направлении вращения; 3) платформа первоначально вращалась с угловой скоростью 1,7 рад/с, а человек пошел в направлении, противоположном направлению вращения.

76.(3) На тонком вертикальном стержне длиной 0,30 м и массой 0,20 кг зак-реплен шар массой 600 г и радиусом 0,030 м. Центр шара совпадает с концом стержня. Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Пуля массой 15 г, летящая со скоростью 200 м/с под углом 30° вниз к горизонту по направлению к центру шара, попадает в шар и застревает в нем. На какой угол отклонится стержень после удара?

Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произ­ведением:

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A , p = m v — импульс материальной точки (рис. 28); L — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р.

Модуль вектора момента импульса

где a — угол между векторами r и р, l — плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z .

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдель­ная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_i с некоторой скоро­стью v_i . Скорость v_i и импульс m_i v_i перпендикулярны этому радиусу, т. с. радиус является плечом вектора m_i v_i . Поэтому можем записать, что момент импульса отдель­ной частицы равен

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Монет импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя формулу (17.1) v_i = w r_i , получим

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

В замкнутой системе момент внешних сил откуда

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы от­счета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели (рис. 29), приведен во вращение с угловой скоростью w ₁ . Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения w ₂ возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл. 2).